source
stringlengths 128
512
| target
stringlengths 100
1.22k
|
|---|---|
The proof of Theorem REF relies on using Lemma REF along with [1]}. Inspecting the proof of Theorem REF , one can see that any \(\bar{\mu },\bar{y}\) can replace \(\mu ^\star ,y^\star \)The proof does not rely on specific properties of the latter like being primal dual optimal.. The situation is similar to primal dual algorithms in optimization [2]}, [3]} and Evolution Variational Inequalities in optimal transport [4]}.
| Доказательство Теоремы REF основывается на использовании Леммы REF вместе с [1]. Изучая доказательство Теоремы REF, можно увидеть, что любые \(\bar{\mu },\bar{y}\) могут заменить \(\mu ^\star ,y^\star \). Доказательство не зависит от конкретных свойств последних, таких как оптимальность примал дуал. Ситуация аналогична примал-дуал алгоритмам в оптимизации [2], [3] и эволюционным вариационным неравенствам в оптимальной транспортировке [4]. |
If \(R\) is \(F\) -split, of course \(F:H^i_I(R)\rightarrow H^i_I(F_*R)\) splits as a map of \(R\) -modules. In particular, \(F:H^i_I(R)\rightarrow H^i_I(R)\) is injective for any ideal \(I\subset R\) and \(i\in \mathbb {N}\) . The latter fact turned out to be very powerful since the work of Hochster and Roberts [1]}, so it has been natural to introduce the following definition:
| Если \(R\) является \(F\)-разделённым, то, конечно, \(F:H^i_I(R)\rightarrow H^i_I(F_*R)\) разделяется в качестве отображения модулей \(R\). В частности, \(F:H^i_I(R)\rightarrow H^i_I(R)\) инъективно для любого идеала \(I\subset R\) и \(i\in \mathbb {N}\). Последний факт оказался очень мощным с момента работы Hochster и Roberts[1]}, поэтому стало естественным ввести следующее определение: |
where \(\mathrm {Ric}\) is the Ricci curvature of \((M, g)\) , \(\nabla ^2\)
is the Hessian with respect to \(g\) , and
\(m\in \mathbb {R}\cup \lbrace \pm \infty \rbrace \) (when \(m=0\) we require \(f\) to be a
constant). \(m\) -Bakry-Émery Ricci curvature is a natural
generalization of Ricci curvature on Riemannian manifolds, see
[1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]} and references therein. In
particular, a smooth metric measure space satisfying
\(\mathrm {Ric}_f^m=\lambda g,\)
| где \(\mathrm {Ric}\) - это риккева кривизна \((M, g)\), \(\nabla ^2\) - это гессиан относительно \(g\), а \(m\in \mathbb {R}\cup \lbrace \pm \infty \rbrace\) (когда \(m=0\), мы требуем, чтобы \(f\) была константой). Кривизна Бакри-Эмери \(m\)-ого порядка является естественным обобщением риккевой кривизны на римановых многообразиях, см. [1], [2], [3], [4], [5] и ссылки в них. В частности, гладкое метрическое пространство, удовлетворяющее условию \(\mathrm {Ric}_f^m=\lambda g,\) |
Consider a non-trivial, isotropic element \(\beta \) of degree two, i.e. \(0\ne \beta \in H^2\) with \(q(\beta )=0\) . Then, according
to Verbitsky and Bogomolov [1]}, [2]}, one has
\(\beta ^n\ne 0\text{ and }\beta ^{n+1}=0.\)
| Рассмотрим нетривиальный изотропный элемент \(\beta\) степени два, т.е. \(0\ne \beta \in H^2\) с условием \(q(\beta)=0\). Тогда, согласно Вербицкому и Богомолову [1] [2], выполняется \(\beta ^n\ne 0\) и \(\beta ^{n+1}=0\). |
In [1]}, Susskind has suggested that the entropy of the
black hole be modelled in terms of strings that end on the
horizon. Such strings will be accessible to the external observer and
to the interior observer alike and will presumably be implicated in a
unitarity description of black hole evaporation etc. It will therefore
be of much interest if such strings can be constructed explicitly and
perhaps even quantized.
| В [1]}, Сасскинд предложил моделировать энтропию черной дыры в терминах струн, которые заканчиваются на горизонте. Такие струны будут доступны как для внешнего наблюдателя, так и для внутреннего наблюдателя и, предположительно, будут участвовать в единичном описании испарения черных дыр и т.д. Поэтому будет очень интересно, если такие струны можно будет явно построить и, возможно, даже квантовать. |
Definition 2.14 [1]}
For a cluster algebra with initial cluster variables \(u_i\) , the cluster character is a map \(X_?:\mathrm {Ob}(\mathcal {C}_Q)\rightarrow \mathcal {A}_Q\) defined by:
| Определение 2.14 [1]
Для кластерной алгебры с начальными переменными скоплений \(u_i\), кластерный характер является отображением \(X_?:\mathrm {Ob}(\mathcal {C}_Q)\rightarrow \mathcal {A}_Q\), заданным следующим образом: |
At the heart of TDDFT lies the Runge-Gross theorem [1]}, [2]}, [3]} which, for time-dependent problems, plays an analogous role to the Hohenberg-Kohn theorem for ground-state problems. Namely, for a fixed particle-particle interaction and statistics, it establishes a one-to-one mapping between the possibly time-dependent external potential acting on the electrons and the time-dependent density for a given initial state:
\(\Psi (0): n \leftrightarrow v_{\rm ext}\)
| В основе TDDFT лежит теорема Рунге-Гросс [1], [2], [3], которая, для временно-зависимых задач, играет аналогичную роль теореме Хоэнберга-Кона для задач с основным состоянием. А именно, для фиксированного взаимодействия частиц-частиц и статистики, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между возможно временно-зависимым внешним потенциалом, действующим на электроны, и временно-зависимой плотностью для заданного начального состояния:
\(\Psi (0): n \leftrightarrow v_{\rm ext}\) |
Alternatively, one can use the method of targeted maximum likelihood
estimation (TMLE; [1]}, [2]}), which,
by fitting each of the outcome models in two steps, will also ensure
a zero sample mean for all terms inside \(\mathbb {P}_{n}[\cdot ]\) but
\(\hat{\mu }_{0}(X)\) . This approach does not require the first-step
models to be GLM and thus can be used with a wider range of outcome
models. In our case, it involves the following steps:
| Также можно использовать метод максимального правдоподобия с таргетированием (TMLE; [1], [2]), который, подгоняя каждую из моделей исхода в два шага, также гарантирует нулевое среднее значение выборки для всех членов внутри \(\mathbb {P}_{n}[\cdot ]\), кроме \(\hat{\mu }_{0}(X)\). Этот подход не требует моделей первого шага быть ГЛМ и, следовательно, может использоваться с более широким спектром моделей исхода. В нашем случае он включает следующие шаги: |
where \(A_{d}=((\alpha _{i}^{d}, \alpha _{j}^{d}))_{i,j \in I}\) and \(d \in D\) . Notice that \(sl(m, n) = \mathfrak {g}(A_1, \tau ^{1})\) , where \(\tau ^{1}\) be a distinguished system of simple roots ([1]}).
| где \(A_{d}=((\alpha _{i}^{d}, \alpha _{j}^{d}))_{i,j \in I}\) и \(d \in D\). Обратите внимание, что \(sl(m, n) = \mathfrak {g}(A_1, \tau ^{1})\), где \(\tau ^{1}\) является выделенной системой простых корней ([1]). |
The results concerning the NEP of 1-D birth death systems are well known, and an alternative derivation can be found in [1]}. A particular example of a birth-death process relevant to our purposes here is the Schlögl model [2]}. For a pedagogical exposition of an application of Hamilton-Jacobi theory to Schlögl model and its generalizations, see [3]}, [4]}. For this section, we use the concrete 1 species reaction network
\({\phi &<=>[6][11] X } \nonumber \\{2 X &<=>[6][1] 3 X}, \)
| Результаты, касающиеся НЭП систем смерть-рождение одного измерения, хорошо известны, и альтернативное происхождение можно найти в [1]. Особый пример смерть-рождения, важный для наших целей здесь, - модель Шлегла [2]. Для педагогической экспозиции применения теории Гамильтона-Якоби к модели Шлегла и ее обобщениям, см. [3], [4]. В этом разделе мы используем конкретную сеть реакции одного вида:
\({ \phi &<=>[6][11] X } \nonumber \\{2 X &<=>[6][1] 3 X}, \) |
BLAS is an acronym for Basic Linear Algebra Subprograms[1]}, [2]}, [3]}. It is the cornerstone of modern high performance computing. BLAS-1 routines perform scalar, vector and vector-vector operations, BLAS-2 routines perform matrix-vector operations, and BLAS-3 routines perform matrix-matrix operations. Many operations in frontal is BLAS-3 routines.
| BLAS - это аббревиатура от Basic Linear Algebra Subprograms[1]}, [2]}, [3]}. Она является основой современных высокопроизводительных вычислений. Рутины BLAS-1 выполняют скалярные, векторные и векторно-векторные операции, рутины BLAS-2 выполняют матрично-векторные операции, а рутины BLAS-3 выполняют матрично-матричные операции. Множество операций в frontal являются рутинами BLAS-3. |
The empirical version of a problem with such a composite objective is analyzed in [1]}, where central limit theorems have been established.
Another study addressing compositions of similar type is presented in [2]}, see also [3]} for related work.
We refer to [4]} for a comprehensive review on asymptotic behavior of stochastic optimization problems and to [5]} for a detailed analysis of SAA models and related methods.
| В эмпирической версии проблемы с такой составной целью проведен анализ в [1], где были установлены центральные предельные теоремы.
Другое исследование, посвященное составным задачам подобного типа, представлено в [2], смотри также [3] для связанных работ.
На масштабное поведение стохастических задач оптимизации ссылаемся на обзор в [4], а на подробный анализ моделей SAA и связанных методов - в [5]. |
Remark 2.2 In general, there is no principled way to select observables without expert knowledge of a dynamical system. Machine learning techniques can be deployed to identify relevant terms in the dynamics from data, which guide selection of the observables [1]}, [2]}, [3]}.
| Замечание 2.2 В общем случае нет принципиального способа выбора наблюдаемых величин без экспертного знания о динамической системе. Техники машинного обучения могут быть использованы для выявления соответствующих терминов в динамике на основе данных, что помогает выбрать наблюдаемые величины [1]}, [2]}, [3]}. |
To save labeling cost,
many WSSS methods have been proposed,
including those using image-level labels [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}, [7]}, scribbles [8]}, points [9]}, and bounding boxes [10]}, [11]}, [12]}, [13]}.
We mainly focus on image-level models, which
can be grouped into two families: multi-step, and
one-step
end-to-end
methods.
| Для снижения затрат на обозначение
было предложено множество методов WSSS,
включая использование образовых меток [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7],
карандашных набросков [8],
точек [9] и ограничивающих рамок [10] [11] [12] [13].
Мы сосредотачиваемся преимущественно на моделях с образовыми метками,
которые могут быть разделены на два семейства:
методы с многократными шагами и методы с одним шагом
от начала до конца. |
Dynamics of evolution algebras arise from their evolution operator \(L_e\) , defined as the one-sided multiplication by the evolution element \(e=\sum _{i=1}^ne_i\) given by \({\cal B}\) [1]}. Continuity and dynamics of evolution operators were considered in [2]}.
| Динамика эволюционной алгебры возникает из её оператора эволюции \(L_e\), определенного как одностороннее умножение на элемент эволюции \(e=\sum _{i=1}^ne_i\), заданного \({\cal B}\) [1]. Непрерывность и динамика операторов эволюции были рассмотрены в [2]. |
Distance to monotonicity (a.k.a Ulam distance) is also a very well-studied problem [1]}, [2]}, [3]}, [4]}. While LIS has resisted a multiplicative approximation algorithm, DTM can be approximated within a multiplicative factor \(1+\epsilon \) in time \(\tilde{O} (n/d + \sqrt{n})\) when the solution size is lower bounded by \(d\) [1]}. Streaming [6]} and MPC [3]} algorithms for DTM have also appeared.
| Расстояние до монотонности (также известное как расстояние Улама) также является хорошо исследованной проблемой[1], [2], [3], [4]. В то время как задача поиска наибольшей возрастающей подпоследовательности устойчива к аппроксимации с мультипликативным коэффициентом, расстояние до монотонности может быть аппроксимировано с мультипликативным коэффициентом \(1 + \epsilon\) за время \(\tilde{O} (n/d + \sqrt{n})\) при условии, что размер решения является нижней границей \(d\) [1]. Также появились потоковые [6] и MPC [3] алгоритмы для расстояния до монотонности. |
The concept of stability is extended to non linear functions \(f\) in [1]}. A motivation is to preserve the Lyapunov stability of the system, which has significant importance when the computations are done in finite arithmetic. The parameter \(\lambda \) is replaced by \(\rho (t)\) , the spectral radius of \(\frac{\partial f}{\partial y}(t,y(t))\) .
| Концепция устойчивости распространяется на нелинейные функции \(f\) в [1]. Мотивацией является сохранение ляпуновской устойчивости системы, что имеет большое значение при вычислениях в конечной арифметике. Параметр \(\lambda\) заменяется на \(\rho(t)\), спектральный радиус \(\frac{\partial f}{\partial y}(t, y(t))\). |
These diverse applications of SNA show that a complex system exhibits certain graph-theoretic common properties such as centrality, scale-free, small world, community structure, and power-law degree distribution [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}. Some of these commonly observed SNA measures relevant to our study are described below.
| Разнообразные применения анализа социальных сетей (АСС) показывают, что сложная система обладает определенными графовыми свойствами, такими как центральность, масштабно-свободная структура, малый мир, структура сообществ и распределение степеней, соответствующее степенному закону [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Некоторые из общеизвестных показателей АСС, важные для нашего исследования, описаны ниже. |
Algorithms based on the optimisation of partition quality functions, like modularity maximisation, are plagued by the problems we discussed in Section REF .
Nevertheless, if one knows, or discovers, the correct number of clusters \(q\) ,
and the optimisation is constrained on the subset of partitions having \(q\) clusters, such algorithms become competitive [1]}, [2]}.
| Алгоритмы, основанные на оптимизации функций качества разбиения, таких как максимизация модулярности, страдают от проблем, которые мы обсудили в разделе REF.
Тем не менее, если известно, или найдено, правильное количество кластеров \(q\),
и оптимизация ограничена подмножеством разбиений с \(q\) кластерами, такие алгоритмы становятся конкурентоспособными [1]}, [2]}. |
Datasets.
We synthesize the “Heterogeneous” dataset from five fine-grained classification datasets, namely AirCraft [1]}, Car-196 [2]}, Caltech-UCSD Birds (CUB) 200-2011 [3]}, Stanford Dog [4]}, and Indoor [5]}. We randomly sampled 60 classes with 50 images each from each of the 5 datasets, and equally split classes into meta-train-pool, meta-val-pool, and meta-test-pool. That is, there are 100 classes in meta-train-pool (same for the others), which includes 20 classes from each dataset.
| Наборы данных.
Мы синтезируем набор данных "Гетерогенный" из пяти наборов данных классификации с мелкой дискретизацией, а именно AirCraft [1], Car-196 [2], Caltech-UCSD Birds (CUB) 200-2011 [3], Stanford Dog [4] и Indoor [5]. Мы случайным образом отбираем по 60 классов с 50 изображениями из каждого из 5 наборов данных и равномерно распределяем классы по мета-тренировочному, мета-валидационному и мета-тестовому наборам. То есть в мета-тренировочном наборе (то же самое для других наборов) находится 100 классов, включая по 20 классов из каждого набора данных. |
For a given \(i\) , the coefficients \(c_n(t)\) are the Bogoliubov coefficients, which quantify the probability amplitude of the transitions between states [1]}. Thus, the transition probability for \(n\ne i\) is given by
\(P_{i\rightarrow n}(t)=A^2|c_n^{(1)}(t)|^2.\)
| Для заданного \(i\) коэффициенты \(c_n(t)\) являются коэффициентами Боголюбова, которые количественно определяют амплитуду вероятности переходов между состояниями [1]. Таким образом, вероятность перехода для \(n\ne i\) задается выражением
\(P_{i\rightarrow n}(t)=A^2|c_n^{(1)}(t)|^2.\) |
We will first discuss a fibration construction which is well-known in the framework of equivariant cohomology (Appendix and also [1]}). This construction will be used to define \(g\) -Monge-Ampère measure
for singular psh potentials. It is also used to prove the slope formula and the monotonicity along MMP in the work [2]}. There is a further application in the study of weighted-extremal metrics in [3]}.
| Сначала мы рассмотрим конструкцию фибрации, которая широко известна в рамках эквивариантной когомологии (приложение и также [1]). Эта конструкция будет использоваться для определения \(g\)-меры Монжа-Ампера для сингулярных потенциалов psh. Она также используется для доказательства формулы наклона и монотонности вдоль ММП в работе [2]. Дальнейшее применение находится в исследовании взвешенных экстремальных метрик в [3]. |
Input-wise methods avoid superfluous calculations depending on the different complexness of inputs. For example, BranchyNet[1]} proposed the entropy-based confidence measurement, and Shallow-Deep Nets[2]} solved the overthinking issue with an early exit mechanism. DeeBERT[3]} and TheRT[4]} applied the basic early exit method to BERT. FastBERT[5]} proposed a self-distilling method in fine-tuning. Unlike these works that only explore the intermediate state of the classifier, our CWB mechanism has two stages.
| Методы, основанные на входных данных, избегают излишних вычислений, зависящих от разнообразной сложности входов. Например, BranchyNet[1] предложил измерение уверенности на основе энтропии, а Shallow-Deep Nets[2] решил проблему переанализа с помощью механизма раннего выхода. DeeBERT[3] и TheRT[4] применили базовый метод раннего выхода к BERT. FastBERT[5] предложил самодистиллирующий метод на этапе донастройки. В отличие от этих работ, которые исследуют только промежуточное состояние классификатора, наш механизм CWB имеет два этапа. |
We have concentrated on the particular case of the symmetric 3-funnelled
surface (whose defining closed geodesics have the same lengths). However, the same method of
combining geometric and analytic approximations works
in the case that the boundary curves have different length as well as in the
case of symmetric punctured torus, and allows one to explain the nature of the
patterns of zeros described in the sections 5.1 and 5.2 of [1]}.
| Мы сосредоточились на особом случае симметричной поверхности с тремя воронкообразными отверстиями (геодезические окружности имеют одинаковую длину). Однако, тот же метод комбинирования геометрических и аналитических приближений работает также в случае, когда граничные кривые имеют разную длину, а также в случае симметричного пронзенного тора, и позволяет объяснить природу распределения нулей, описанную в разделах 5.1 и 5.2 [1]. |
with \(\beta =0.9\) and \(\lambda =0.56 \ \mathrm {GeV}^{-1}\) . Additionally, we have \(g_V=m_\rho /f_\pi \) associated with the pion decay constant \(f_\pi =132\) MeV [1]}, [2]}, [3]}, [4]}.
| с \(\beta =0.9\) и \(\lambda =0.56 \ \mathrm {GeV}^{-1}\) . Кроме того, у нас есть \(g_V=m_\rho /f_\pi \), связанный с постоянной распада пиона \(f_\pi =132\) MeV [1]}, [2]}, [3]}, [4]}. |
In particular, the upper bound has the advantage that it is essentially optimal in the case when \(|A \pm A|\) is very small. Let us see how Lemma REF can be used to prove Theorem REF , using the methods of [1]} and [2]}. The proof of Lemma REF is given in Appendix .
| В частности, верхняя граница имеет преимущество тем, что она в существенной мере оптимальна в случае, когда \(|A \pm A|\) очень мало. Давайте посмотрим, как лемма REF может быть использована для доказательства теоремы REF с использованием методов из [1] и [2]. Доказательство леммы REF приведено в приложении. |
The axiomatization is a straightforward adaptation of the set of
axioms originally proposed in [1]}, which was in turn
adapted from a language-theoretic setting based on work by Salomaa
[2]}). It is well-known that at least one higher-order
construct is required as shown in [3]}. Variants of
the axiom of the recursive specification principle (RSP) have been
studied extensively (cf. [4]}).
| Аксиоматизация является прямым адаптированием набора аксиом, которые изначально были предложены в [1], а затем адаптированы из языковой постановки работы Саломаа [2]. Хорошо известно, что по крайней мере одна конструкция высшего порядка требуется, как показано в [3]. Варианты аксиомы принципа рекурсивной спецификации (RSP) были широко изучены (см. [4]). |
Energy efficient: Thanks to its flexibility and universality, the energy efficiency of RSMA is also larger than or equal to that of existing MA techniques (OMA, SDMA, NOMA) in a wide range of user deployments [1]}, [2]}, [3]}.
| Энергоэффективность: Благодаря своей гибкости и универсальности, энергоэффективность RSMA также больше или равна энергоэффективности существующих техник MA (OMA, SDMA, NOMA) в широком диапазоне развертывания пользователей [1]}, [2]}, [3]}. |
Sequences were mapped to the reference genome using bwa
version 0.7.10-r789 [1]} using the mem alignment method. The resulting
SAM files were then compressed and sorted, and mapping statistics
extracted with samtools version 0.1.19-96b5f2294
[2]}. The list of files is given in Table REF .
<TABLE> | Последовательности были отображены на референсном геноме с использованием программы bwa версии 0.7.10-r789 [1] с помощью метода выравнивания mem. Полученные файлы формата SAM были сжаты и отсортированы, а также извлечены статистические данные об отображении с помощью программы samtools версии 0.1.19-96b5f2294 [2]. Список файлов приведен в таблице REF. <TABLE> |
in basic energy estimates for both supersonic and sonic cases. For the sonic case, inspired by [1]}, [2]}, we take the linear coordinate transformation
\(\begin{pmatrix}\phi \\ \bar{\phi } \\ \bar{\psi }\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\hat{\rho }\\ \hat{n} \\ \hat{v}\end{pmatrix}\nonumber \)
| в базовой оценке энергии как для случая сверхзвукового, так и звукового движения. Для звукового случая, вдохновленного [1]}, [2]}, мы используем линейное преобразование координат
\(\begin{pmatrix}\phi \\ \bar{\phi } \\ \bar{\psi }\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\hat{\rho }\\ \hat{n} \\ \hat{v}\end{pmatrix}\nonumber \) |
for fixed parameter \( a> 0 \) .
Other choices for the function \( F \) are available, but for simplicity of the presentation, we make this specific choice as suggested in [1]}, [2]}. For further details of the possible generalisations, we refer to the remark in Section .
| для фиксированного параметра \( a>0 \).
Другие варианты функции \( F \) также возможны, но для простоты представления мы выбираем этот конкретный вариант, как предложено в [1] и [2]. Дополнительные подробности о возможных обобщениях можно найти в примечании в разделе . |
Theorem 3 (Maynard [1]}) Let \(m \ge 2\) be a natural number. Let \(k\) be sufficiently large in terms of \(m\) , and let \({\mathcal {H}} = \lbrace h_1, \ldots , h_k\rbrace \) be any set of \(k\) integers with \({\mathfrak {S}}({\mathcal {H}}) > 0\) . Then there exist infinitely many \(n\) such that the \(k\) -tuple \(n+h_1\) , \(\ldots \) , \(n+ h_k\) contains at least \(m\) primes.
| Теорема 3 (Мейнард [1]}) Пусть \(m \ge 2\) - натуральное число. Пусть \(k\) достаточно большое с учетом \(m\), и пусть \({\mathcal {H}} = \lbrace h_1, \ldots , h_k\rbrace \) любой набор из \(k\) целых чисел, где \({\mathfrak {S}}({\mathcal {H}}) > 0\). Тогда существует бесконечно много чисел \(n\), таких что кортеж \(n+h_1\) , \(\ldots \) , \(n+ h_k\) содержит по крайней мере \(m\) простых чисел. |
The core Lagrangian particle (LP) method [1]} solves the system of compressible 3D Euler equations in Lagrangian coordinates:
\(&&\frac{d \rho }{d t} = - \rho \nabla \mathbf {u}, \\&&\rho \frac{d \mathbf {u}}{dt}= -\nabla P, \\&&\rho \frac{de}{dt} = -P\nabla \cdot \mathbf {u},\\&& P = P(\rho ,e), \)
| Метод частиц Лагранжа для ядра (LP) [1] решает систему сжимаемых уравнений Эйлера в трехмерных лагранжевых координатах:
& & \frac{d \rho }{d t} = - \rho \nabla \mathbf {u}, \\
& & \rho \frac{d \mathbf {u}}{d t} = -\nabla P, \\
& & \rho \frac{d e}{d t} = -P\nabla \cdot \mathbf {u}, \\
& & P = P(\rho ,e), |
For system (REF ), by the properties of linear systems [1]}, the solution of system (REF ) can be written as follows.
\(x(t) = \left( {\Phi (t,s) \otimes I_m } \right)x(s) + \int _s^t {\left( {\Phi (t,\tau ) \otimes I_m } \right)u(\tau )} d_\tau \)
| Согласно свойствам линейных систем [1], решение системы (REF) можно записать следующим образом:
\(x(t) = \left( {\Phi (t,s) \otimes I_m } \right)x(s) + \int _s^t {\left( {\Phi (t,\tau ) \otimes I_m } \right)u(\tau )} d_\tau \) |
There exist different descriptions for thermodynamic geometries in the literature,
e.g. Weinhold geometry[1]}, [2]},
Ruppeiner geometry[3]}, [4]}, etc.
The metrics for Weinhold and
Ruppeiner geometries differ only by a finite Weyl factor, therefore, regarding
the divergence behaviors, the two descriptions are basically identical.
| В литературе существуют различные описания термодинамической геометрии, например, геометрия Вайнхолда [1], [2], геометрия Руппайнера [3], [4] и т.д. Метрики для геометрий Вайнхолда и Руппайнера отличаются только конечным множителем Вейля, поэтому, с точки зрения поведения расходимости, эти два описания в основном идентичны. |
In [1]}, [2]}, [3]}, [4]} assumes that the defender neutralizes the intruder using the head-on collision. The capture process will destroy both the defender and intruders and are not practical. In this paper, the defender employs a safety net to capture the intruder, and hence a small number of defenders can protect the territory from a large number of intruders.
| В [1]}, [2]}, [3]}, [4]} предполагается, что защитник нейтрализует проникающего вторжителя с помощью головного столкновения. Процесс захвата разрушает как защитника, так и вторжителей, и является не практичным. В этой статье для защиты от множества вторжителей небольшое количество защитников использует защитную сетку для захвата вторжителя. |
Owing to the power counting super-renormalizability, the nonlocal
theories of QG have universal, i.e., gauge- and
parametrization-independent beta functions. On top of that, these
theories can be formulated as unitary
[1]} and the stability
[2]}, [3]} is secured at any
perturbative order. At the quantum level, the feature of reflection
positivity has been discussed in the different frameworks in
[4]} and [5]}.
| Благодаря суперподсчетной методике супер-ренормализуемости, нелокальные теории Клева-Гордона обладают универсальными бета-функциями, то есть не зависящими от выбора калибровки и параметризации. Кроме того, эти теории могут быть сформулированы также как юнитарные и иметь гарантированную устойчивость на любом порядке пуртурбации. На квантовом уровне свойство положительности отражения было обсуждено в различных рамках. |
where \(\omega _{\theta }^{p}\) and \(\omega _{\theta }^{u}\) are the angular
velocities of momentum and energy, respectively. The corresponding
tangential velocities are \(\left|\vec{v}^{p}\right|=\left|\vec{v}^{u}\right|=c\) , (see Fig. (REF )). The angular frequency \(\omega _{o}^{\prime }\) of energy-momentum is in conformity with Ztg angular
frequency [1]}, [2]}.
| где \(\omega _{\theta }^{p}\) и \(\omega _{\theta }^{u}\) - угловые скорости импульса и энергии соответственно. Соответствующие тангенциальные скорости равны \(\left|\vec{v}^{p}\right|=\left|\vec{v}^{u}\right|=c\) (см. рис. (REF)). Угловая частота \(\omega _{o}^{\prime }\) энергии-импульса соответствует угловой частоте Ztg [1]}, [2]}. |
There is even a continuous-time version \(\kappa _{\star } := \lim _{\alpha \rightarrow 1} \frac{\kappa _\alpha }{1-\alpha }\) , proposed in [1]} and largely adopted since then. In fact, it was later shown (see [2]}) that
\(\frac{\kappa _\alpha }{1-\alpha } \le \kappa _\star \ = \ 2\kappa ,\)
where \(\kappa =\kappa _{1/2}\) is the version considered in the present paper.
Consequently, our result is stated in the strongest possible form, and applies to all versions of the Ollivier-Ricci curvature.
| Существует даже версия непрерывного времени \(\kappa _{\star } := \lim _{\alpha \rightarrow 1} \frac{\kappa _\alpha }{1-\alpha }\) , предложенная в [1] и широко принятая с тех пор. Фактически, впоследствии было показано (см. [2]), что
\(\frac{\kappa _\alpha }{1-\alpha } \le \kappa _\star \ = \ 2\kappa ,\)
где \(\kappa =\kappa _{1/2}\) - это версия, рассматриваемая в данной работе.
Следовательно, наше результат формулируется в наиболее сильной форме и применим ко всем версиям кривизны Олливье-Рици. |
By a result of Atserias, Grohe and Marx [1]}, the number of instances of \(H\) in a graph \(G\) with \(m\) edges is \(O(m^{\rho (H)})\) .
| По результату Atserias, Grohe и Marx [1]}, количество экземпляров \(H\) в графе \(G\) с \(m\) ребрами равно \(O(m^{\rho (H)})\) . |
In the same work [1]}, Bateman has introduced one more Lagrangian formulation of the equation (REF ) for \(d=1\) . An analogue of this model for the case of arbitrary \(d\) can be written in the following form
\(&&S = \int dt\,y_i(t) \left(\frac{d^2}{dt^2}+2\gamma \frac{d}{dt}+(\omega _0^2+\gamma ^2)\right)x_i(t).\)
| В той же работе [1], Бейтман представил еще одну лагранжеву формулировку уравнения (REF) для \(d=1\). Аналог этой модели для произвольного \(d\) может быть записан следующим образом:
\(&&S = \int dt\,y_i(t) \left(\frac{d^2}{dt^2}+2\gamma \frac{d}{dt}+(\omega _0^2+\gamma ^2)\right)x_i(t).\) |
is the usual Newtonian gravitational potential. Such a model, providing the simplest relativistic correction for the classical Kepler problem and therefore usually called relativistic Kepler problem, has been proposed and analyzed in several papers and books
of mathematical physics (see, among others, [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}, [7]} and the references therein).
| это обычный Ньютоновский гравитационный потенциал. Такая модель, обеспечивающая наиболее простую коррекцию относительности для классической задачи Кеплера и поэтому обычно называемая относительной задачей Кеплера, была предложена и исследована в нескольких статьях и книгах по математической физике (см., среди других, [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}, [7]} и ссылки там). |
This is essentially the same as the deduction in [1]}. We apply thm:inversion-of-randomness to \(f(t):= 2^{-|t|/\sqrt{n}}/\iota \) , where \(t \in \mathbb {R}\) and \(\iota \) is an appropriate normalization, separately for all \(\vec{m} \in \mathbb {Z}_{\ge 0}^{k}\) such that \(\Vert \vec{m}-\vec{p}n\Vert _\infty \le \gamma _{\ref {thm:inversion-of-randomness}}n\) ,
and then conclude using a union bound.
| Это по существу то же самое, что и вывод в [1]}. Мы применяем теорему: инверсия случайности к \(f(t):= 2^{-|t|/\sqrt{n}}/\iota \), где \(t \in \mathbb {R}\) и \(\iota \) - подходящая нормализация, отдельно для всех \(\vec{m} \in \mathbb {Z}_{\ge 0}^{k}\) таких, что \(\Vert \vec{m}-\vec{p}n\Vert _\infty \le \gamma _{\ref {thm:inversion-of-randomness}}n\), и затем заключаем, используя объединение пределов. |
Based on the findings mentioned above, a number of methods have been proposed to combine the advantages of L2R and R2L decoding. These approaches are collectively referred to as bidirectional decoding. Bidirectional decoding based methods can be mainly fall into four categories [1]}: (1) agreement between L2R and R2L [2]}, [3]}, [4]}, (2) rescore with bidirectional decoding [2]}, [6]}, (3) asynchronous bidirectional decoding [7]}, [8]}, and (4) synchronous bidirectional decoding [9]}, [10]}, [11]}.
| На основании вышеупомянутых результатов было предложено ряд методов для объединения преимуществ декодирования слева направо (L2R) и декодирования справа налево (R2L). Эти подходы вместе называются двунаправленным декодированием. Методы на основе двунаправленного декодирования можно главным образом разделить на четыре категории [1]: (1) согласование между L2R и R2L [2], [3], [4], (2) переоценка с помощью двунаправленного декодирования [2], [6], (3) асинхронное двунаправленное декодирование [7], [8], и (4) синхронное двунаправленное декодирование [9], [10], [11]. |
It is our aesthetic opinion that working directly in the unquotiented Grassmannian \(\operatorname{Gr}(3,9)\) yields a clearer understanding of the geometry, thus our choice of using the moduli space of framed sheaves. In terms of cluster algebras, the quotient \(\operatorname{Gr}(3,9)/(*)^9\) has no frozen cluster variables, whereas the Grassmannian \(\operatorname{Gr}(3,9)\) [1]}, [2]} has the cyclically consecutive Plücker coordinates as frozen cluster variables.
| Наше эстетическое мнение заключается в том, что работа непосредственно в неквотируемом грассманиане \(\operatorname{Gr}(3,9)\) позволяет лучше понять геометрию, поэтому мы выбрали использовать модульное пространство "рамированных пучков". В терминах алгебр кластеров, в квотиенте \(\operatorname{Gr}(3,9)/(*)^9\) нет замороженных переменных кластера, тогда как в грассманиане \(\operatorname{Gr}(3,9)\) [1]}, [2]} циклически последовательные координаты Плюккера являются замороженными переменными кластера. |
Some other methods relied on LiDAR sensors such as [1]} which combined 3D collision avoidance with control in a nonlinear model predictive control scheme considering both dynamic and geometric constraints at the same time.
It adopted a mapless approach by relying on a subspace clustering method applied to 3D point clouds obtained directly from a 3D LiDAR sensor.
| Некоторые другие методы полагаются на датчики LiDAR, такие как [1], которые объединяют 3D избегание столкновений с управлением в схеме непрерывного предсказывающего управления, учитывая одновременно как динамические, так и геометрические ограничения.
Он принимает бескартографный подход, полагаясь на метод подпространственной кластеризации, примененный к 3D облакам точек, полученным непосредственно от 3D датчика LiDAR. |
We recall that the classical results of Romanov [1]} prove that Couette flow is linearly stable for any Reynolds number. Instead, Poiseuille flow is unstable for any Reynolds number bigger that 5772 (Orszag [2]}).
| Мы напоминаем, что классические результаты Романова [1] доказывают, что поток Куэтта является линейно устойчивым при любом числе Рейнольдса. Вместо этого, поток Пуазейля неустойчив при любом числе Рейнольдса, превышающем 5772 (Орсаг [2]). |
Remark 2.6 In [1]} this conjecture is proved for \(\textrm {GL}_n\) and \(p > h\) . In [2]} this conjecture is proved for \(\textrm {GL}_n\) for general \(p\) . In [3]}, [4]}, [5]} this conjecture is proved in all types for \(p > h\) .
| Замечание 2.6. В [1] это предположение доказано для \(\textrm {GL}_n\) при \(p > h\). В [2] это предположение доказано для \(\textrm {GL}_n\) для произвольного \(p\). В [3], [4], [5] это предположение доказано во всех типах при \(p > h\). |
The notion junta was introduced by Friedgut [1]}
while studying the isoperimetric problem in discrete cube. Dinur and
Friedgut [2]} were the first to use this
notion in the study of \(k\) -uniform set-systems. They showed the following.
| Понятие "хунта" было введено Фридгутом [1] при изучении изопериметрической задачи в дискретном кубе. Динур и Фридгут [2] были первыми, кто использовал это понятие в исследовании \(k\)-равномерных множеств. Они показали следующее. |
Note that when the individual kernels \(h\) are seen as (possibly randomized) decision trees, there is an immediate connection between U-statistics and random forests. In fact, it was this connection that was exploited by [1]} to demonstrate that RF predictions are asymptotically normal when trees are constructed via subsampling instead of traditional bootstrap samples.
| Отметим, что когда отдельные ядра \(h\) рассматриваются как (возможно, случайные) деревья решений, существует непосредственная связь между \(U\)-статистиками и случайными лесами. Фактически, это соединение было использовано в работе [1] для демонстрации того, что прогнозы случайного леса асимптотически нормальны, когда деревья строятся путем подвыборки вместо традиционных бутстрэп-выборок. |
We proceed with a transformation of the RH problem for \(Y\) to one which is normalized to the identity at infinity, and which has suitable jump conditions. This is a standard part of the Deift/Zhou steepest descent method [1]} which we apply in order to get asymptotics for \(Y\) as \(n\rightarrow \infty \) with \(t\) small. Define
\(T(z)=e^{\frac{n\ell }{2}\sigma _3}Y(z)e^{-ng(z)\sigma _3}e^{\frac{-n\ell }{2}\sigma _3},\)
| Мы продолжаем с преобразованиям задачи RH для \(Y\) к той, которая нормализована на бесконечности и имеет подходящие условия перехода. Это стандартная часть метода кручения стоимости Дейфта/Чжоу [1], которую мы применяем для получения асимптотики для \(Y\) при \(n\rightarrow \infty \) с малым \(t\). Определим
\(T(z)=e^{\frac{n\ell }{2}\sigma _3}Y(z)e^{-ng(z)\sigma _3}e^{\frac{-n\ell }{2}\sigma _3},\) |
In this section, we specify two computation models which we mentioned in this manuscript, that is the quantum computation model with magic states, and the quantum computation model with unitary.
We would use examples from [1]}, [2]}, [3]} to clarify the relationship between the number of non-Clifford resources used in the two models, that is Proposition REF and Proposition REF .
| В этом разделе мы определяем две модели вычислений, которые мы упоминали в нашей статье, а именно модель квантовых вычислений с волшебными состояниями и модель квантовых вычислений с унитарными операторами.
Мы будем использовать примеры из [1], [2], [3], чтобы прояснить отношение между количеством неклиффордовых ресурсов, используемых в двух моделях, а именно Предложение REF и Предложение REF. |
By standard theory (see Section 3 in [1]}), \(H\)
is self-adjoint, and its spectrum is infinite, discrete, and bounded
from below. We can thus write the spectrum of \(H\) as \(\lambda _{1}<\lambda _{2}\le ...\rightarrow \infty \) ,
with a complete orthonormal set of eigenfunctions \(f_{1},f_{2},...\) .
| Согласно стандартной теории (см. раздел 3 в [1]), оператор \(H\) самосопряженный, и его спектр бесконечный, дискретный и ограничен снизу. Мы можем записать спектр \(H\) как \(\lambda _{1}<\lambda _{2}\le ...\rightarrow \infty \), с полной ортонормированной системой собственных функций \(f_{1},f_{2},...\). |
Similar to [1]}, [2]}, in our pilot test, we observed that our annotators preferred to write t type questions, of which the answers segment can be easily retrieved by reading the transcripts. To ensure that we collect a balance of queries requiring one or both modalities, we set up awarding mechanism for asking v type and t+v type type questions. More examples of query types could be found in Supp.
| Как и [1], [2], в нашем пилотном тесте мы обнаружили, что наши аннотаторы предпочитают создавать вопросы типа t, ответы на которые легко находятся при чтении транскриптов. Чтобы гарантировать сбор сбалансированного набора запросов, требующих одного или обоих типов модальностей, мы установили механизм награды за задание вопросов типа v и типа t+v. Дополнительные примеры типов запросов можно найти в Супп. |
In the absence of external pressure, some of the equations would further simplify if the enthalpy flow
\(wu_{\mu }\) were a gradient of a scalar potential, i.e., if
the velocity field satisfied Eq. (REF ).
Then, as a consequence of (REF ),
the left-hand side of (REF ) would vanish identically.
The assumption (REF ) is automatically satisfied in the field-theory formalism as demonstrated in Ref. [1]}.
| В отсутствие внешнего давления некоторые уравнения дополнительно упрощаются, если поток энтальпии \(wu_{\mu}\) является градиентом скалярного потенциала, то есть, если поле скорости удовлетворяет уравнению (REF). Тогда, как следствие из (REF), левая часть уравнения (REF) идентично обращается в ноль. Предположение (REF) автоматически выполняется в формализме поля теории, как показано в работе [1]. |
The Hamilton-Jacobi tunneling method [1]}, [2]}, [3]}
can be straightforwardly utilized to derive the temperature (REF ) in geometric frame.
Since this is basically the same as the case of unfractional static black holes with \(g_{tt}g_{rr}=-1\) ,
we demote the corresponding discussion to Appendix .
In this section,
we shall focus on the case of fractional frame.
| Метод туннелирования Гамильтона-Джакоби [1]}, [2]}, [3]} может быть прямолинейно использован для получения температуры (REF ) в геометрической рамке. Поскольку это в основном то же самое, что и случай нефракционных статических черных дыр с \(g_{tt}g_{rr}=-1\), мы упрощаем соответствующее обсуждение до приложения. В этом разделе мы сосредоточимся на случае фракционной рамки. |
This experiment is an update of [1]}, which showed that using a simple Hebbian update rule between weights endowed recurrent networks with fast memory properties. The base model is a single-cell recurrent network with all-to-all coupling, \(\mathbf {\theta }(t)\) . The considered models are
| Этот эксперимент является обновлением [1], который показал, что использование простого правила обновления Хебба весов придает рекуррентным сетям быстрые свойства памяти. Базовая модель представляет собой рекуррентную сеть с одной ячейкой и полной связью между ними, \(\mathbf {\theta }(t)\). Рассматриваемые модели - |
Threat model refers to conditions under which the ae are generated. It can be categorized according to many factors. In literature [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, adversary knowledge, adversary goal, adversary capabilities, attack frequency, adversarial falsification, adversarial specificity and attack surface are the identified factors. We focus here in threat model that is identified by adversary knowledge:
| Угроза модели относится к условиям, при которых возникают атаки. Ее можно классифицировать по многим факторам. В литературе [1], [2], [3], [4] выделены следующие факторы: знание атакующего, цель атакующего, возможности атакующего, частота атак, подделка атакующего, специфика атакующего и поверхность атаки. Здесь мы фокусируемся на модели угрозы, определяемой знанием атакующего. |
The noncondensed and anomalous densities can be computed through Eq.(REF ) [1]}, [2]}
\(\tilde{n}_{\pm }=\frac{1}{2}\int \frac{d \bf k}{(2\pi )^2} \left[\frac{E_k+ \mu _{\pm }}{\varepsilon _{k \pm }} \sqrt{I_{k \pm }}-1\right],\)
| Неконденсированные и аномальные плотности могут быть вычислены с помощью уравнения (REF [1]), [2]:
\(\tilde{n}_{\pm }=\frac{1}{2}\int \frac{d \bf k}{(2\pi )^2} \left[\frac{E_k+ \mu _{\pm }}{\varepsilon _{k \pm }} \sqrt{I_{k \pm }}-1\right],\) |
In the six-derivative theory, the cosmological constant \(\omega _\Lambda \) runs with
the energy, and the assumption of being in Minkowski spacetime
is not valid anymore. Therefore, we must study the stability of the
theory in (A)dS backgrounds. To this end, we shall follow the general analysis
in [1]}, [2]}, [3]}, [4]}.
At the quantum level, the conditions (REF ) and () are
not sufficient to guarantee the absence of ghosts and we have
to study the perturbative spectrum of the theory in (A)dS.
| В шестимерной теории производной, космологическая постоянная \(\omega _\Lambda \) меняется с энергией, и предположение о нахождении в пространстве Минковского больше не является допустимым. Поэтому нам необходимо изучить устойчивость теории в (А)dS фоне. Для этого мы будем следовать общему анализу в [1]}, [2]}, [3]}, [4]}.
На квантовом уровне условия (REF ) и () недостаточны для гарантии отсутствия привидений, и нам необходимо изучить возмущенный спектр теории в (А)dS. |
For the past three decades, scholars, practitioners, and organizations have been developing numerous conventional technical means to increase cyber-security by using signature-detection measures and encryption techniques [1]}, [2]}. However, the success of such conventional approaches has been limited [3]}, [1]}, [2]}, [6]}.
| В течение последних трех десятилетий ученые, практики и организации разрабатывали множество традиционных технических средств для повышения кибербезопасности с помощью мер обнаружения сигнатур и техник шифрования [1]}, [2]}. Однако успешность таких традиционных подходов была ограничена [3]}, [1]}, [2]}, [6]}. |
It was shown that the equation (REF ) admits
the following Lax pair [1]}
\({\left\lbrace \begin{array}{ll}& \psi _{xx} = -\lambda ^{2}(1+q)\psi , \\& \psi _t=2\lambda ^{2}[\frac{2}{\sqrt{1+q}}\psi _{x}-(\frac{1}{\sqrt{1+q}})_{x}\psi ].\end{array}\right.}\)
| Было показано, что уравнение (REF) допускает следующую пару Лакса [1]:
\({\left\lbrace \begin{array}{ll}& \psi _{xx} = -\lambda ^{2}(1+q)\psi , \\& \psi _t=2\lambda ^{2}[\frac{2}{\sqrt{1+q}}\psi _{x}-(\frac{1}{\sqrt{1+q}})_{x}\psi ].\end{array}\right.}\) |
Suppose Assumptions (D1)–(D3) hold. If the parameter \(\tau _1\) is nonzero, the formulation (REF ) is an \(H({\rm div})\) -based HDG formulation, and it is hybridizable with only one variable \(\hat{u}_h\) globally coupled in (REF ).
If the parameter \(\tau _1\) vanishes, the formulation (REF ) is a hybridizable mixed formulation [1]}, [2]}.
This implies that the formulation (REF ) or (REF ) with (REF ) can be reduced to a one-field formulation with only the variable \(\hat{u}_h\) .
| Предположим, что выполнены предположения (D1) - (D3). Если параметр \(\tau _1\) не равен нулю, формулировка (REF) является формулировкой HDG на основе \(H({\rm div})\) и имеет гибридную структуру только с одной переменной \(\hat{u}_h\), которая связана глобально в (REF).
Если параметр \(\tau _1\) обращается в ноль, формулировка (REF) является гибридной смешанной формулировкой [1]}, [2]}.
Это означает, что формулировка (REF) или (REF) с (REF) могут быть сведены к одноосевой формулировке с только одной переменной \(\hat{u}_h\). |
As a point of departure, consider the thermal QCD transition at zero baryon density, \(\mu _B=0\) .
The nature of this transition for physical quark masses has been known for some time to be an analytic
crossover [1]}.
Away from the physical point,
the order of the QCD thermal
transition with \(N_f=2+1\) quarks as a function of quark masses is usually specified in a so-called Columbia
plot [2]}, for which two possible realisations, to be discussed below, are shown in Figure REF .
| В качестве отправной точки рассмотрим термодинамический переход в термодинамике QCD при нулевой плотности барионов, \(\mu _B=0\).
Известно, что при физических массах кварков его характер является аналитическим переходом [1].
Вне физической точки порядок термодинамического перехода в QCD с \(N_f=2+1\) кварками в зависимости от масс кварков обычно указывается на так называемом графике Колумбии [2], два возможных примера, которые будут обсуждаться ниже, показаны на рисунке REF. |
Thus Deligne proved that all smooth projective varieties are pure. We can now give a standard proof of the purity of a smooth quasi-projective variety with a semi-projective \(\mathbb {G}_m\) -action using the Białynicki-Birula decomposition [1]}. In particular, this will provide a proof of the purity of the \(\mathbb {F}_q\) -variety \(X_0\) mentioned at the end of Section REF .
| Таким образом, Делинь доказал, что все гладкие проективные многообразия являются чистыми. Теперь мы можем дать стандартное доказательство чистоты гладкого полупроективного многообразия с полупроективным действием \(\mathbb {G}_m\), используя разложение Биалиницки-Бирула [1]. В частности, это даст доказательство чистоты многообразия \(\mathbb {F}_q\)-\(X_0\), упомянутого в конце раздела REF. |
In 2021, Kayumov et al. [1]} obtained the following Bohr-Rogosinski type inequality for Cesáro operator for class of analytic functions defined on the unit disk \(\mathbb {D}\) .
| В 2021 году Kayumov и др. [1] получили следующее неравенство типа Бора-Рогозинского для оператора Чезаро для класса аналитических функций, определенных на единичном круге \( \mathbb{D} \). |
see e.g. Theorem 3.1 in [1]}, or
Corollaries 2.1 and 2.2 in [2]}.
Note that (REF ) is used to ensure that the
second term in (REF ) is asymptotically negligible compared to the first term.
| смотрите, например, Теорему 3.1 в [1], или следствия 2.1 и 2.2 в [2]. Обратите внимание, что (REF) используется для обеспечения того, что второй член в (REF) асимптотически пренебрежим по сравнению с первым членом. |
The question answering datasets are “open” versions of Natural Questions [1]} and TriviaQA [2]}. Unlike the original versions, the relevant Wikipedia page must be found by a retrieval step. The training sets for Natural Questions and TriviaQA contain 87k and 62k questions, with another 3k and 5k for the development and 1.4k and 6.5k for test.
| Наборы данных для вопросно-ответной задачи являются "открытыми" версиями Natural Questions [1] и TriviaQA [2]. В отличие от исходных версий, необходимо выполнить этап поиска соответствующей страницы Википедии. В тренировочных наборах для Natural Questions и TriviaQA содержится 87 тыс. и 62 тыс. вопросов, а также еще 3 тыс. и 5 тыс. для разработки и 1.4 тыс. и 6.5 тыс. для тестирования. |
Table REF summarizes the results for our proposed model (labeled DL-GP) and the quantile deep learner (labeled Q-DL) in comparison with those recorded in [1]}: their smoothed heteroskedastic GP (labeled WHGP); a standard, homoskedastic GP (labeled GP); a Maximum A Posteriori heteroskedastic GP (labeled MAPHGP) from [2]}; and a variational model (labeled VHGP) from [3]}.
| Таблица REF обобщает результаты нашей предложенной модели (обозначенной как DL-GP) и квантильного глубокого обучателя (обозначенного как Q-DL) в сравнении с записанными в [1]: графиками гетероскедастической сглаженной GP (обозначенной как WHGP); стандартной, гомоскедастической GP (обозначенной как GP); гетероскедастической GP с максимальным апостериорным оцениванием (обозначенной как MAPHGP) из [2]; и вариационной моделью (обозначенной как VHGP) из [3]. |
Proposition 2.1 ([1]})
Suppose that \(\mathcal {X}\in \mathbb {R}^{I_1\times \cdots \times I_N}\) and
\(\mathbf {A}^{(n)}\in \mathbb {R}^{J_n\times I_n}\) for \(1\le n\le N\) . Then the following conditions
are equivalent:
| Утверждение 2.1 ([1])
Предположим, что \(\mathcal {X}\in \mathbb {R}^{I_1\times \cdots \times I_N}\) и
\(\mathbf {A}^{(n)}\in \mathbb {R}^{J_n\times I_n}\) для \(1\le n\le N\). Тогда следующие условия
эквивалентны: |
A closed subgroup \(H\) of a Polish group \(G\) of countable index is clopen, see [1]}. Any conjugacy class that intersects a normal subgroup is contained in it. A dense conjugacy class cannot be disjoint from an open set, e.g. \(gH\) for any \(g\notin H\) .
| Замкнутая подгруппа \(H\) польской группы \(G\) с счетным индексом является открыто-замкнутой, см. [1]. Любой класс сопряженности, пересекающий нормальную подгруппу, содержится в ней. Плотный класс сопряженности не может быть непересекающимся с открытым множеством, например, \(gH\) для любого \(g\notin H\). |
with \(\eta (t)\) standing for for thermal fluctuations. From eq.(REF ) the probability distribution of a particle position \(x\) at time \(t+\Delta t\) must satisfy [1]}:
\(P^{\mu }(x,t+\Delta t) = \int p(x,t+\Delta t|x^{\prime },t)P^{\mu }(x^{\prime },t)dx^{\prime },\)
| с \(\eta (t)\), обозначающей тепловые флуктуации. Из уравнения (ССЫЛКА) вероятностное распределение положения частицы \(x\) в момент времени \(t+\Delta t\) должно удовлетворять [1]:
\(P^{\mu }(x,t+\Delta t) = \int p(x,t+\Delta t|x^{\prime },t)P^{\mu }(x^{\prime },t)dx^{\prime },\) |
To obtain the uniform in \(d\) estimate for macroscopic term, motivated by [1]}, [2]}, we define
\(\tilde{f}(x,v):=\bar{f}(x,v)+\Phi (v)\)
| Для получения однородной оценки в \(d\)-мерном макроскопическом терме, мотивированной [1] и [2], мы определяем \(\tilde{f}(x,v):=\bar{f}(x,v)+\Phi (v)\). |
Baselines. Because there are no existing open vocabulary detection methods that can be trained without manual bounding-box annotations, we compare with recent zero-shot/open-vocabulary methods[1]}, [2]}, [3]}, [4]} that require human-provided bounding boxes for base categories during training. Among the baselines, Zareian et al. [4]} is the SOTA method, thus, is treated as our major baseline.
| Базовые показатели. Поскольку нет существующих методов обнаружения с открытой лексикой, которые могут быть обучены без ручных аннотаций границ области, мы сравниваем с последними методами нулевого шага/с открытой лексикой[1]}, [2]}, [3]}, [4]}, которые требуют предоставления человеком аннотаций границ области для базовых категорий во время обучения. Среди базовых показателей метод Zareian et al. [4]} является методом SOTA, поэтому он рассматривается как наш основной показатель. |
where \(\phi _{max}\) is the maximum positive angle [1]}. In nuclear collisions, the \(p_{{}_T}\) -integrated inclusive
survival probability of \(J/\psi \) in the QGP/QCD medium becomes [2]}, [3]}.
\(\langle S^{{}^{\rm incl}} \rangle = 0.6 {\langle S^{{}^{\mbox{dir}}} \rangle }_{J/\psi }+0.3 {\langle S^{{}^{\mbox{dir}}} \rangle }_{{}_{\chi _{c}}}+0.1 {\langle S^{{}^{\mbox{dir}}} \rangle }_{{}_{\psi ^\prime }}\)
| где \(\phi_{\text{max}}\) - максимальный положительный угол [1]. В ядерных столкновениях, интеграл по \(p_{{}_T}\) вероятность выживания \(J/\psi\) в среде QGP/QCD становится [2], [3]:
\(\langle S^{{}^{\text{incl}}} \rangle = 0.6 {\langle S^{{}^{\text{dir}}} \rangle }_{J/\psi }+0.3 {\langle S^{{}^{\text{dir}}} \rangle }_{{}_{\chi _{c}}}+0.1 {\langle S^{{}^{\text{dir}}} \rangle }_{{}_{\psi ^\prime }}\) |
An alternative approach is to define the general policies
as collection of rules over a set of logical features [1]}, often
derived from the domain predicates using a description logic grammar [2]}, [3]}.
Recent methods learn such policies from pools of such features [4]}, [5]};
in some cases, by learning value functions [6]}.
The Boolean and numerical features are closely related to the variables
used in qualitative numerical planning models [7]}, [8]}.
| Альтернативный подход заключается в определении общих политик как набора правил на основе логических признаков [1], часто получаемых из доменных предикатов с использованием грамматики логического описания [2], [3]. Недавние методы позволяют извлекать такие политики из пулов признаков [4], [5], а иногда - с помощью обучения функций ценности [6]. Булевы и числовые признаки тесно связаны с переменными, используемыми в моделях качественного числового планирования [7], [8]. |
The Dahl model [1]}, [2]} is commonly used in mechanical systems, which represents the friction force with respect to the relative displacement between two surfaces in contact. The general representation of the Dahl model is given by
\(\dot{y}(t)=\rho \left|1-\frac{y(t)}{F_c}\textrm {sgn} (\dot{u}(t))\right|^{r}\textrm {sgn} \left(1-\frac{y(t)}{F_c}\textrm {sgn}(\dot{u}(t))\right)\dot{u}(t),\)
| Модель Дала [1]}, [2]} широко используется в механических системах и представляет собой силу трения в отношении относительного перемещения между двумя поверхностями, находящимися в контакте. Общее представление модели Дала задается следующим уравнением:
\(\dot{y}(t)=\rho \left|1-\frac{y(t)}{F_c}\textrm {sgn} (\dot{u}(t))\right|^{r}\textrm {sgn} \left(1-\frac{y(t)}{F_c}\textrm {sgn}(\dot{u}(t))\right)\dot{u}(t),\) |
Both the propositions of theorem 6.1 follows immediately from Theorem 3.17.1
of monograph [1]}, chapter 3, section 17; see also [2]}, [3]}.
| Обе предложения теоремы 6.1 сразу следуют из Теоремы 3.17.1 монографии [1], главы 3, раздела 17; см. также [2], [3]. |
We remark that in [1]} it was proved that there exist \(n\) -vertex graphs with \(o(n^{2.442})\) \(C_5\) ’s that cannot be made triangle-free
by deleting \(o(n^{3/2})\) edges. Note the large gap between the two bounds for conditional removal.
| Мы отмечаем, что в [1] было доказано, что существуют графы с \(n\) вершинами с \(o(n^{2.442})\) \(C_5\), которые нельзя сделать без треугольников, удаляя \(o(n^{3/2})\) ребер. Обратите внимание на большой разрыв между двумя оценками для условного удаления. |
Theorem 1.5 (Dinur–Friedgut [1]})
For each \(r\in \mathbb {N},\) there exist
\(C>0,j\in \mathbb {N},\) such that any intersecting family \(\mathcal {F}\subseteq \binom{\left[n\right]}{k}\)
is \(C\left(\frac{k}{n}\right)^{r}\) -essentially contained in an intersecting
\(j\) -junta.
| Теорема 1.5 (Динур-Фридгут [1])
Для каждого \(r\in \mathbb {N}\) существуют \(C>0,j\in \mathbb {N}\), такие что для любого пересекающегося семейства \(\mathcal {F}\subseteq \binom{\left[n\right]}{k}\) выполняется условие \(C\left(\frac{k}{n}\right)^{r}\) -почти содержания в пересекающейся \(j\) -юнте. |
As in [1]}, we study the map \(\Phi : C^k(X) \times \mathbb {R} \times B \rightarrow \mathbb {R}\) given by
\( \Phi (u, \lambda , b) = (L_b + \lambda ) u. \)
| Как и в [1], мы изучаем отображение \(\Phi : C^k(X) \times \mathbb {R} \times B \rightarrow \mathbb {R}\), заданное как
\( \Phi (u, \lambda , b) = (L_b + \lambda ) u. \) |
The polylogarithms \(_b(z)\) arise when we compute or estimate the first and second moments of the coordinate projections; they will help us give quantitative bounds which are needed in some of the proofs. References for polylogarithms are [1]} and [2]}.
| Полилогарифмы \(_b(z)\) возникают, когда мы вычисляем или оцениваем первый и второй моменты проекций координат; они помогут нам дать количественные оценки, которые необходимы в некоторых доказательствах. Ссылки на полилогарифмы можно найти в [1] и [2]. |
There are many methods to tackle constituency parsing, such as transition-based methods [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, span-based methods [5]}, [6]}, [7]}, [8]}, [9]}, [10]}, [11]}, sequence-to-sequence (seq2seq)-based methods [12]}, [13]}, sequence-labeling-based methods [14]}, [15]}, [16]}, among others.
| Существует множество методов для решения задачи синтаксического анализа составления, таких как методы основанные на переходах [1], [2], [3], [4], методы основанные на диапазонах [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], методы основанные на последовательности-в-последовательность (seq2seq) [12], [13], методы основанные на разметке последовательности [14], [15], [16], и другие. |
There are however process matrices that do not correspond
to a causally separable process and such process matrices are known as causally
non-separable (CNS). The examples of such matrices were provided in [1]}, [2]}.
The set of all causally non-separable process matrices
will be denoted by \(\mathbf {W^{CNS}}\) .
In Fig. REF we present a schematic plot of the sets of process matrices.
<FIGURE> | Однако существуют матрицы процессов, не соответствующие причинно-разделимому процессу, и такие матрицы процессов называются причинно-неразделимыми (CNS). Примеры таких матриц приведены в [1], [2]. Множество всех причинно-неразделимых матриц процессов будет обозначаться \(\mathbf {W^{CNS}}\). На рис. REF представлена схематическая диаграмма множеств матриц процессов. |
The third question in our targets is on the noise effect, which is one of the central questions in the study of stochastic partial differential equations (SPDEs). Regularization effects of noise have been observed for many different models. For example, it is known that the well-posedness of linear stochastic transport equations with noise can be established under weaker hypotheses than its deterministic counterpart, cf. [1]}, [2]}. For linear noise, see also [3]}, [4]}, [5]}, [6]}.
| Третий вопрос в наших целях связан с эффектом шума, который является одним из центральных вопросов в изучении стохастических уравнений с частными производными (СУЧП). Эффекты регуляризации шума наблюдаются для множества различных моделей. Например, известно, что установление хорошо поставленных задач для линейных стохастических транспортных уравнений с шумом может быть установлено при более слабых предположениях, чем для его детерминированного аналога, см. [1], [2]. Для линейного шума, см. также [3], [4], [5], [6]. |
For these black holes, we can approximate \(t\) in the above formulas with the Hubble time \(t=t_H\) . Notice that this allows us to deduce the density of an otherwise dark population of remnants just from the observation of the emitted radiation.
(In other cosmological scenarios,
in particular in bouncing models
[1]}, [2]}, [3]},
\(t\) can be larger.)
| Для этих черных дыр мы можем аппроксимировать \(t\) в приведенных выше формулах временем Хаббла \(t=t_H\). Обратите внимание, что это позволяет нам определить плотность иначе темной популяции остатков только по наблюдению излучения.
(В других космологических сценариях,
в частности в моделях отскока,
\(t\) может быть больше.) |
By now, there are many reviews and resources available on the topic of parameter estimation in modern flexible nonparametric models, e.g.,
[1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}, [6]}, [7]}, [8]}, [9]}, [10]}, [11]}, [12]}, and [13]}, among others. In this review, we put special emphasis on minimax-style efficiency bounds, worked examples, and practical shortcuts for easing derivations. We gloss over most technical details, in the interest of highlighting important concepts and providing intuition for main ideas.
| На данный момент существует много обзоров и ресурсов по теме оценки параметров в современных гибких непараметрических моделях, например, [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] и [13], среди других. В этом обзоре мы делаем особый акцент на минимакс-типе границ эффективности, приведенных примерах и практических сокращениях для упрощения выводов. Мы опускаем большую часть технических деталей в целях выделения важных концепций и обеспечения интуиции для основных идей. |
Lemma 2.1 ([1]}, Theorem 1.3.7)
For any \( u\in \mathcal {N}_\varepsilon \) , \( u_+\lnot \equiv 0. \) For any \( u\in \mathcal {H}(\Omega ) \) with \( u_+\lnot \equiv 0 \) , there exists a unique \( t(u)>0 \) such that \( t(u)u\in \mathcal {N}_\varepsilon . \) The value of \( t(u) \) is characterized by the identity
\(I_\varepsilon (t(u)u)=\max \lbrace I_\varepsilon (tu), t>0\rbrace .\)
| Лемма 2.1 ([1], Теорема 1.3.7)
Для любого \(u\in \mathcal{N}_\varepsilon\), \(u_+\lnot \equiv 0\). Для любого \(u\in \mathcal{H}(\Omega)\) с \(u_+\lnot \equiv 0\), существует единственное \(t(u)>0\) такое, что \(t(u)u\in \mathcal{N}_\varepsilon\). Значение \(t(u)\) характеризуется тождеством
\(I_\varepsilon(t(u)u)=\max\lbrace I_\varepsilon(tu), t>0\rbrace.\) |
Using the correlation functions of Ref. [1]}, orientation dependent pinning parameters have been evaluated in Ref. [2]}. Here we use these results to evaluate the orientation dependent pinning parameters \(C_E, C_{\tau }\) of Eqs. (8) and (9) for the perfect dislocation and the corresponding partials. For details of the calculation the reader is referred to [2]}. Note that for the partial dislocation the depinning stress is understood as the effective stress according to Eq. (17).
| Используя корреляционные функции из работы [1], были вычислены ориентационно-зависимые параметры закрепления в работе [2]. Здесь мы используем эти результаты для вычисления ориентационно-зависимых параметров закрепления \(C_E, C_{\tau}\) уравнений (8) и (9) для идеального дислокации и соответствующих частичных дислокаций. Подробности вычислений можно найти в [2]. Обратите внимание, что для частичной дислокации напряжение сдвига снятия понимается как эффективное напряжение в соответствии с уравнением (17). |
Given the spectra \(\sigma ^{(n)}\) for \(1\le n \le N\) , one can use very simple arguments to derive the following information on the matrix \(A\) , without relaying on any sign information. They are known in different guises, see e.g. references [1]}, [2]}, [3]}, [4]}. We bring them here for completeness and as a background necessary for the ensuing developments.
| Для заданных спектров \(\sigma ^{(n)}\) для \(1\le n \le N\), можно использовать очень простые аргументы для получения следующей информации о матрице \(A\), не полагаясь на какую-либо информацию о знаке. Они известны в различных формах, см., например, ссылки [1]}, [2]}, [3]}, [4]}. Мы приводим их здесь для полноты и в качестве необходимого фона для последующих разработок. |
Rényi DP (RDP) [1]} is a generalization of \((\epsilon , \delta )\) -DP that uses Rényi divergence as a distance metric. The Rényi divergence of order \(\alpha \) between two distributions \(P\) and \(Q\) is defined as:
\(D_{\alpha }(P||Q)=\frac{1}{\alpha -1}\log \mathbb {E}_{x\sim P}\left[\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)^{\alpha -1}\right]\)
| Rényi DP (RDP) [1] - это обобщение (\( \epsilon, \delta \)) -DP, которое использует дивергенцию Реньи в качестве метрики расстояния. Дивергенция Реньи порядка \( \alpha \) между двумя распределениями \( P \) и \( Q \) определяется следующим образом:
\( D_{\alpha}(P||Q) = \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathbb {E}_{x \sim P} \left[ \left( \frac{P(x)}{Q(x)} \right)^{\alpha - 1} \right] \) |
share many interesting features of the \(L^p-\) spaces. Of special interest so far
is the Young's inequality (cf. [1]})
\(\Vert \psi \ast \varphi \Vert _q \le \left(\frac{\kappa _p\kappa _r}{\kappa _q}\right)^n\Vert \psi \Vert _r \Vert \varphi \Vert _p,\)
| Поделюсь многими интересными особенностями пространств \(L^p\). Особый интерес вызывает неравенство Юнга (см. [1]):
\(\Vert \psi \ast \varphi \Vert _q \le \left(\frac{\kappa _p\kappa _r}{\kappa _q}\right)^n\Vert \psi \Vert _r \Vert \varphi \Vert _p,\) |
In this section, we study an asymptotic behaviour of \(u\) solving (REF )
when \(\varepsilon \) goes to zero. Our analysis follows the inner-outer expansion arguments, which are now standard for phase-field equations defined on Euclidean domains in \(\mathbb {R}^d\) , \(d=2,3\) , [1]}, [2]}, [3]} and also has been used recently to study sharp interface limits of two phase-field models defined on surfaces [4]}, [5]}.
| В данном разделе мы изучаем асимптотическое поведение \(u\), решающей (REF), когда \(\varepsilon\) стремится к нулю. Наш анализ следует методу внешнего-внутреннего разложения, который является стандартным для уравнений фазового поля, определенных на евклидовых областях в \(\mathbb{R}^d\), \(d=2,3\) [1], [2], [3], а также недавно использовался для изучения предельных описаний острых интерфейсов двух моделей фазового поля, определенных на поверхностях [4], [5]. |
Wenger et al. [1]} proposed a Gaussian process (GP) based method, which can be used to calibrate any multi-class classifier that outputs confidence values and presented their methodology by calibrating neural networks. The main idea behind their work is to learn the calibration map by a Gaussian process that is trained on the networks confidence predictions and the corresponding ground-truths in the left out calibration set. For this approach, the preservation of the predictions is also not assured.
| Wenger et al. [1] предложили метод на основе гауссовых процессов (GP), который может использоваться для калибровки любого многоклассового классификатора, который выдает значения уверенности, и представили свою методологию, калибруя нейронные сети. Основная идея их работы заключается в том, чтобы научиться калибровочному отображению с помощью гауссового процесса, который обучается на прогнозах уверенности сетей и соответствующих истинных значениях в отдельном наборе для калибровки. Для этого подхода также не гарантируется сохранение прогнозов. |
As we mention previously, besides minimizing the reconstruction error at raw pixel level, we can also do this at higher feature level, which is explored in DTN [1]}. The architecture of DTN is shown in Figure REF , where the generator \(G\) is composed of two neural networks, a convolutional network \(f\) and an transposed convolutional network \(g\) such that \(G=g\circ f\) .
<FIGURE> | Как мы упомянули ранее, помимо минимизации ошибки реконструкции на уровне исходных пикселей, мы также можем сделать это на более высоком уровне признаков, что исследуется в работе DTN [1]. Архитектура DTN показана на рисунке REF, где генератор \(G\) состоит из двух нейронных сетей: сверточной сети \(f\) и обратной сверточной сети \(g\), так что \(G=g\circ f\). |
Gradient descent, a simple and fundamental algorithm, is known to find an \(\epsilon \) -approximate first-order stationary point of problem (REF ) (where \(\Vert \nabla f(\mathbf {x})\Vert \le \epsilon \) ) in \({\cal O}(\epsilon ^{-2})\) iterations [1]}. This rate is optimal among the first-order methods under the gradient Lipschitz condition [2]}, [3]}. When additional structure is assumed, such as the Hessian Lipschitz condition, improvement is possible.
| Градиентный спуск, простой и основной алгоритм, известен своей способностью находить \(\epsilon \) -приближенную точку первого порядка стационарной проблемы (REF) (где \(\Vert \nabla f(\mathbf {x})\Vert \le \epsilon \) ) за \({\cal O}(\epsilon ^{-2})\) итераций [1]}. Такая скорость является оптимальной среди методов первого порядка при условии градиента Липшица [2]}, [3]}. При наличии дополнительной структуры, такой как условие ограниченности Гессиана, возможно улучшение. |
Theorem 1.2 (Räcke [1]})
For every undirected (multi)-graph \(G=(V, E)\) , there exists a routing scheme \(R = R(G)\) such that for every demand \(\mathcal {D}= \lbrace (s_i, t_i)\rbrace _{i=1}^k\) , the maximum expected congestion of routing \(\mathcal {D}\) using \(R\) is at most a \(O(\log n)\) -factor larger than the optimal congestion of \(\mathcal {D}\) in \(G\) .
| Теорема 1.2 (Раке [1])
Для каждого неориентированного (мульти)-графа \(G=(V, E)\) существует схема маршрутизации \(R = R(G)\), такая что для каждого потребления \(\mathcal {D}= \lbrace (s_i, t_i)\rbrace _{i=1}^k\), максимальная ожидаемая конгестия маршрутизации \(\mathcal {D}\) с использованием \(R\) не превышает оптимальную конгестию \(\mathcal {D}\) в \(G\) не более чем на \(O(\log n)\) раз. |
where \(\kappa ^2 = 8 \pi G\) with \(G\) the Newton's constant, \(S_{M}\) is the action for both relativistic and non-relativistic matter.
In the viable exponential gravity model, \(f(R)\) is given by [1]}, [2]}, [3]}, [4]}, [5]}
\(f(R) = R - \lambda R_{ch}(1-e^{-R/R_{ch}})\)
| где \(\kappa ^2 = 8 \pi G\) с \(G\) постоянная Ньютона, \(S_{M}\) действие как для релятивистской, так и для нерелятивистской материи. В модели экспоненциальной гравитации \(f(R)\) задается [1], [2], [3], [4], [5]:
\(f(R) = R - \lambda R_{ch}(1-e^{-R/R_{ch}})\) |
Numerical approximations for the constants have been
first computed by Otter [1]}. This was also topic in Finch [2]}
and [3]} where we find approximations up to 25 digits: \(\rho \approx 0.3383218568992076951961126\) and \(b\approx 1.55949002037464088554226\) .
| Числовые приближения для констант впервые были вычислены Оттером [1]. Это также было темой в работе Финча [2] и [3], где мы находим приближения до 25 десятичных знаков: \(\rho \approx 0.3383218568992076951961126\) и \(b \approx 1.55949002037464088554226\). |
where \((c_x,c_y)\) is the principal point on the image, \(f_x\) and \(f_y\) are focal lengths. These values can be easily estimated based on standard camera calibration techniques [1]}.
| где \((c_x,c_y)\) - главная точка на изображении, \(f_x\) и \(f_y\) - фокусные расстояния. Эти значения могут быть легко оценены на основе стандартной техники калибровки камеры [1]. |